Les Suites
Le Duel Arithmétique vs Géométrique
🎯 L'essentiel à retenir
Une suite est une liste ordonnée de nombres, chacun calculé selon une règle précise. Les deux types fondamentaux sont :
⚔️ Le Duel : Arithmétique vs Géométrique
| Caractéristique | Suite Arithmétique | Suite Géométrique |
|---|---|---|
| Le concept | On ajoute toujours r | On multiplie toujours par q |
| Relation de récurrence | un+1 = un + r |
vn+1 = vn × q |
| Formule explicite | un = u0 + n × r |
vn = v0 × qn |
| Sens de variation | Dépend du signe de r r > 0 → croissante ↗ r < 0 → décroissante ↘ |
Dépend de q q > 1 → croissante ↗ (si v₀ > 0) 0 < q < 1 → décroissante ↘ |
| Graphique | Points alignés (droite) | Points sur une courbe (exponentielle) |
🔵 Suite Arithmétique — En détail
Une suite (un) est arithmétique de raison
r si, pour tout entier n :
💡 Astuce mémo : "Arithmétique" contient "A" comme "Addition". On ajoute r à chaque fois !
Pour calculer directement le terme de rang n sans passer par tous les termes précédents :
Soit u0 = 3 et r = 5. Calculer u10.
u10 = u0 + 10 × r = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53
Si tu connais deux termes consécutifs :
Si tu connais deux termes quelconques up et uq :
r > 0
Suite croissante
r = 0
Suite constante
r < 0
Suite décroissante
🔵 Les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés — c'est la preuve que c'est une relation linéaire !
🟣 Suite Géométrique — En détail
Une suite (vn) est géométrique de raison
q si, pour tout entier n :
💡 Astuce mémo : "Géométrique" → on pense à la "Grandeur qui se multiplie". On multiplie par q !
Pour calculer directement le terme de rang n :
Soit v0 = 2 et q = 3. Calculer v5.
v5 = v0 × q5 = 2 × 35 = 2 × 243 = 486
q > 1
Suite croissante
Ex: q=2 → 1, 2, 4, 8...
q = 1
Suite constante
Ex: q=1 → 5, 5, 5, 5...
0 < q < 1
Suite décroissante
Ex: q=0.5 → 8, 4, 2, 1...
Attention ! Si q < 0, la suite alterne entre valeurs positives et négatives (elle change de signe à chaque terme).
🟣 Contrairement à la suite arithmétique, la croissance est exponentielle — les termes grandissent (ou diminuent) de plus en plus vite !
🧰 Méthodes — Comment reconnaître le type de suite ?
Calculer un+1 − un
Si la différence est constante (toujours la même), c'est une suite arithmétique de raison r = cette différence.
Calculer un+1 / un
Si le quotient est constant (toujours le même), c'est une suite géométrique de raison q = ce quotient.
Sinon...
La suite n'est ni arithmétique, ni géométrique. Il faut chercher un autre type !
La suite (un) est définie par : 5, 8, 11, 14, 17, ...
Quelle est la nature de cette suite ? Déterminer sa raison et u20.
• 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3, 14 − 11 = 3
→ La différence est constante = 3, donc c'est une suite arithmétique de raison r = 3.
• u0 = 5, donc u20 = u0 + 20 × r = 5 + 20 × 3 = 5 + 60 = 65
Polynômes de Degré 3
La Fonction Cube et ses secrets
🎯 Forme générale
Un polynôme de degré 3 est une fonction de la forme :
Le coefficient a détermine le comportement global de la courbe. Les coefficients b, c, et d modifient sa forme et sa position.
🅰️ La forme de base : f(x) = ax³
La courbe a une forme en "S" qui passe par l'origine (0, 0).
Si a > 0
- ✅ Toujours croissante
- 📉 Part de −∞ (à gauche)
- 📈 Va vers +∞ (à droite)
Si a < 0
- ✅ Toujours décroissante
- 📈 Part de +∞ (à gauche)
- 📉 Va vers −∞ (à droite)
Fonction impaire : La courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Mathématiquement : f(−x) = −f(x)
💡 Si tu plies le graphique en deux (par rapport à l'origine), les deux moitiés se superposent !
🅱️ Racines et Factorisation
Si tu connais les 3 racines x₁, x₂, x₃ (les endroits où la courbe coupe l'axe des x, c'est-à-dire f(x) = 0), alors :
On doit savoir passer de la forme factorisée à la forme développée :
Développer f(x) = 2(x − 1)(x + 2)(x − 3)
Étape 1 : Développer les deux premiers facteurs :
(x − 1)(x + 2) = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2
Étape 2 : Multiplier par le troisième :
(x² + x − 2)(x − 3) = x³ − 3x² + x² − 3x − 2x + 6
= x³ − 2x² − 5x + 6
Étape 3 : Multiplier par a = 2 :
f(x) = 2x³ − 4x² − 10x + 12
Pour étudier le signe de f(x) à partir de la forme factorisée, on fait un tableau de signes :
💡 Le signe change à chaque racine (simple). Si a > 0, le signe final (vers +∞) est toujours +.
🅲 La Dérivée — Essentiel pour les variations
Pour un polynôme de degré 3, la dérivée se calcule terme par terme :
xn
→
n × xn−1
constante
→
0
La dérivée f'(x) est un polynôme de degré 2. Son signe te donne :
- f'(x) > 0 → f est croissante ↗
- f'(x) = 0 → f a un extremum (max ou min local)
- f'(x) < 0 → f est décroissante ↘
Pour trouver le signe de f'(x) = 3ax² + 2bx + c, on calcule son discriminant :
Δ > 0
f' a 2 racines
→ f a un max et un min local
Forme en "S" avec bosses
Δ = 0
f' a 1 racine double
→ f a un point d'inflexion
Forme en "S" aplatie
Δ < 0
f' garde un signe constant
→ f est strictement monotone
Pas de bosses
Soit f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2. Étudier les variations de f.
Étape 1 : Calculer f'(x)
f'(x) = 3x² − 6x − 9
Étape 2 : Trouver les racines de f'(x) = 0
Δ = (−6)² − 4 × 3 × (−9) = 36 + 108 = 144 > 0
x₁ = (6 − 12) / 6 = −1
x₂ = (6 + 12) / 6 = 3
Étape 3 : Tableau de variations
Comme a = 3 > 0 (coeff de x²), f'(x) est + à l'extérieur des racines.
• Sur ]−∞, −1[ : f'(x) > 0 → f ↗
• En x = −1 : f(−1) = −1 −3 + 9 + 2 = 7 (maximum local)
• Sur ]−1, 3[ : f'(x) < 0 → f ↘
• En x = 3 : f(3) = 27 − 27 − 27 + 2 = −25 (minimum local)
• Sur ]3, +∞[ : f'(x) > 0 → f ↗
Déplace les curseurs pour voir comment a, b, c changent la forme de la courbe !
Quiz de Révision
Teste tes connaissances !
🃏 Flashcards — Clique pour retourner !
Clique sur une carte pour voir la réponse. Utilise-les pour réviser les formules clés.